Решение систем уравнений — Калькулятор Онлайн

Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.

Например, система уравнений может быть задана следующим образом. Рассмотрим оба способа решения. Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что содержит «x» в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу. При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется. Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение «3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.

Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад. Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой. После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку(устно, на черновике либо калькуляторе).

Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных. Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции. Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда.

Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки. Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Я взял ту же систему, что и первом примере. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная . В этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных. У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?». Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений.

170. Системы показательных и логарифмических уравнений.

На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно: Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Решим систему другим способом. Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. Для решения можно использовать сложение, вычитание, умножение и замену.

Запишите уравнения в столбик – одно под другим. Решите оставшееся уравнение. Запишите уравнения так, чтобы переменные х и у и целые числа были друг под другом. Напишите знак сложения ( + ) за пределами второго уравнения. Избавившись от одной из переменных, можно без проблем найти значение второй. Если убрать из уравнения 0, его значение не поменяется.

Сложите или вычтите уравнения. В этом случае мы имеем дело с 2у и -2у, поэтому проще использовать метод сложения. Теперь решаем оставшееся уравнение. Решаем и находим значение оставшейся переменной. Теперь подставляем значение у в одно из изначальных уравнений, решаем и находим значение у. Выберите уравнение попроще. Решение через замену удобнее всего использовать в тех случаях, когда один из коэффициентов в одном уравнении равен коэффициенту в другом.

Системы линейных уравнений решаются одним из четырех способов, вам надо только выбрать наиболее подходящий. В этом параграфе мы обсудим три метода решения систем уравнений, более надежные, чем графический метод, который рассмотрели в предыдущем параграфе. Фактически этим алгоритмом мы воспользовались в предыдущем параграфе, когда задача о двузначном числе привела к математической модели, представляющей собой систему уравнений.

Решить полученное уравнение относительно х.4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения вместо х в выражение у через х, полученное на первом шаге.5. Переменные х и у, разумеется, равноправны, поэтому с таким же успехом мы можем на первом шаге алгоритма выразить не у через х, а х через у из одного уравнения.

Этим более простым уравнением мы имеем право заменить любое уравнение заданной системы, например второе. Суть этого метода при решении систем уравнений та же самая, но с технической точки зрения имеются некоторые особенности, которые мы и обсудим в следующих примерах. А дальше каждое из двух полученных простых уравнений нужно поочередно рассмотреть в системе с уравнением х2 — у2 = 3, о котором мы пока не вспоминали.

173. Решение задач с помощью составления систем уравнений.

Снова воспользуемся методом подстановки: подставим выражение 2х вместо у во второе уравнение системы. Таким образом, в ответ надо включить только решения первой системы. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Вы уже накопили некоторый опыт в решении различных уравнений: линейных, квадратных, рациональных, иррациональных.

Используют это понятие и для систем уравнений. Все три метода (подстановки, алгебраического сложения и введения новых переменных), которые мы обсудили в этом параграфе, абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами, используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.

Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. Этот метод мы применяли в 7-м классе для решения систем линейных уравнений. Подставить полученное выражение вместо у в другое уравнение системы.3. 1. Выразить у через х из одного уравнения системы.2.

Еще интересное:

Связанные истории